انشعاب هاپف در دو نوع از سیستم های لیینارد

یکی از مهم ترین مسائل باز در نظریه معادلات دیفرانسیل در صفحه‏، تعیین تعداد ماکزیمم سیکل های حدی برای یک سیستم چندجمله ای مرتبه ‎ nدر صفحه است که اولین بار توسط هیلبرت در ابتدای قرن گذشته در دومین کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس مطرح شد. این مسئله با گذشت بیش از یک سده‏، هنوز برای ‎‎‎‎n=2‎‎‏ باز است. معمولاً ماکسیمم تعداد سیکل های حدی با ‎‎‎‎h(n) ‎‏ نمایش داده می شود و عدد هیلبرت نامیده می شود. در بسیاری از مسائل کاربردی‏، تعداد و موقعیت مکانی سیکل های حدی برای درک رفتار دینامیکی یک سیستم حائز اهمیت است. وجود سیکل حدی در بسیاری از ‎‏مدل های‎ زیستی‏، اکولوژی و فیزیکی قابل اهمیت است. سیکل های حدی در سیستم های خطی‏، سیستم های پایستار و سیستم های گرادیانی نمی توانند ظاهر شوند بلکه در سیستم های غیر خطی ظاهر می شوند.‎‏‎ ‎‎‏در ریاضیات‏، به خصوص در مطالعه ی سیستم های دینامیکی و معادلات دیفرانسیل‏، یک معادله ی لیینارد یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه دوم است که بسیاری از مدارهای نوسانی توسط آن مدل می شوند. کاربردهای معادله لیینارد را می توان در بسیاری از مثال های مهم از جمله سیستم های شکار-شکارچی و واکنش های شیمیایی یافت. ‎‎‏در این پایان نامه به مطالعه ی سیکل های حدی و انشعاب هاپف در سیستم های لیینارد هموار و غیرهموار می پردازیم. با استفاده از یک روش جبری، ثابت های لیاپانف را برای سیستم های لیینارد هموار تعمیم یافته در صفحه می یابیم. به کمک ثابت های لیاپانف، سیکل پذیری هاپف در سیستم های لیینارد غیرهموار در صفحه را مطالعه می کنیم. همچنین شرایط لازم و کافی برای این که مبدأ یک مرکز باشد را به دست می آوریم. در پایان، کاربردهایی از نتایج به دست آمده را در قالب چند مثال خاص ارائه می دهیم.